Enseñar Geometría

 La enseñanza de la Geometría

La geometría es una de las ramas de mayor importancia de la matemática. A pesar de ello, en la escuela, en muchas ocasiones, se posterga su enseñanza. Los contenidos aritméticos, el aprendizaje de los números y de las operaciones, suelen presentar preocupación y ansiedad tanto en chicos, como en padres y maestros, mientras que el aprendizaje de las figuras geométricas no preocupa del mismo modo. Si por falta de tiempo algún contenido queda fuera de lo planificado, es más probable que eso ocurra con un contenido geométrico que con uno aritmético. Este desvelo por el aprendizaje de los contenidos aritméticos y distensión con los geométricos provoca que, en ciertas oportunidades, se posponga la gestión de los contenidos geométricos para luego del receso escolar de invierno, lo que implica dedicar escaso tiempo y recortar las secuencias por lo avanzado del año.

Una de las razones por las que los contenidos geométricos sufren postergación con respecto a los aritméticos es que parecería estar más divulgada y consensuada la caracterización de un problema aritmético1 que la de uno geométrico. Hoy en día los problemas juegan un rol fundamental en la enseñanza de la matemática, pues es a partir de ellos que se construyen los conocimientos matemáticos. Por ello resulta necesario caracterizar los problemas geométricos.

Es frecuente encontrar problemas aritméticos “vestidos” de problemas geométricos. Por ejemplo:

 

Calcular el perimetro del triángulo.

 

 

Esta actividad no es geométrica por contener el dibujo de un triángulo. Simplemente con contar con la información acerca de cómo calcular el perímetro de un triángulo es posible expresar el cálculo: 7,4 cm + 12,55 cm + 85,7 mm. El desafío es convertir los valores para que todos estén expresados en la misma unidad de medida, por ejemplo, centímetros. Para lo cual el número 85,7 se divide por 10 y se obtiene 8,57. De esta manera se llega al cálculo: 7,4 cm + 12,55 cm + 8,57 mm.

Como vemos, el problema demanda mucho más conocimiento aritmético que geométrico. Las discusiones que puedan surgir probablemente estarán vinculadas con las técnicas para operar con expresiones decimales y no con las nociones de triángulo, o perímetro de una figura.

 Problemas geométricos

1. ¿Es posible construir un paralelogramo que tenga un lado de 3 cm, otro de 1,5 cm y una altura de 2 cm? ¿Por qué?

2. Si no es posible, indiquen qué dato cambiarían para poder construirlo.

Seguramente, los chicos considerarán el lado de mayor longitud como la base del paralelogramo. Luego algunos chicos continuarán la construcción utilizando el dato de la altura y otros, recurriendo al dato del lado.

 

Los primeros trazarán un segmento altura de
2 cm y una recta paralela a la base que pase por el punto extremo de la altura.

   

    

Luego intentarán dibujar un segmento de 1,5 cm con uno de los extremos en el extremo de la base y el otro en algún punto de la paralela. Pero en ninguno de los casos se logra alcanzar la recta paralela.  

 

 

Otros usarán el compás para marcar todos los puntos que están a 1,5 cm del vértice.
Al trazar la circunferencia comprobarán que ninguno de los puntos que se encuentran a 1,5 cm del extremo de la base alcanza la altura requerida.        

 

 

 

Aquellos que iniciaron la construcción por el lado, luego de trazar la base dibujarán algunos lados de 1,5 cm de longitud con extremo en uno de los extremos de la base.
Con el compás podrán recorrer todos los puntos extremos posibles.            

 

 

 

Luego trazarán la recta paralela a la distancia que indica la altura. En este caso también notarán que ninguno de los puntos de la circunferencia toca la paralela; por lo tanto la construcción no es posible.

                           

El punto b. tiene dos respuestas: aumentar la medida del lado o reducir la medida de la altura. En ambos casos encontrarán dos posiciones posibles para los vértices (si la medida de la altura coincide con la del lado el punto es único y ese paralelogramo es un rectángulo) y podrán trazar el paralelogramo trazando paralelas a los lados.

 

 

En la puesta en común se puede proponer que respondan la pregunta: ¿Se debe cumplir alguna relación entre la longitud de la altura de un paralelogramo y la medida de los lados? ¿Cuál? 

Como se puede observar al recorrer la secuencia, la construcción geométrica es un vehículo para elaborar las propiedades de las figuras. La relación entre la medida del lado y la medida de la altura no se construye por simple observación. Por muchos paralelogramos que observemos con las medidas de la altura y del lado resaltadas no se aprende la relación entre ambos. Para que el aprendizaje surja, esas magnitudes deben formar parte de un problema geométrico. 

Para que un problema sea considerado como problema geométrico debe tratar de cuestiones que comprometan a entidades geométricas. A partir de ellos, los  alumnos tienen que poder discutir y argumentar acerca de las propiedades de las figuras, de sus posiciones, de cuán grandes o pequeñas son, etcétera.

Figuras y dibujos

Si bien los objetos que nos rodean pueden tener formas geométricas, los alumnos deben comprender que la figura geométrica es una “idea” y no un objeto concreto. Por ejemplo, podemos decir que el tubo de luz tiene forma cilíndrica, pero el cilindro no es un sinónimo de tubo de luz. El cilindro es un concepto que podemos reconocer y emplear para describir la forma de diversos objetos.
Los dibujos representan estas ideas. Podemos pensar en un cuadrado como un cuadrilátero equilátero, con ángulos rectos y diagonales perpendiculares y congruentes, pero cuando lo dibujamos, dejó de ser ese cuadrado genérico para pasar a ser uno de ciertas medidas en particular.

 

Por ejemplo, este dibujo es un cuadrado de 3 cm de lado. Aunque todos los cuadrados son equiláteros, sus ángulos son rectos y las diagonales son perpendiculares y congruentes, no todos ellos son de 3 cm de lado. Por lo tanto, este dibujo pasa a ser un cuadrado en particular. 

 

Los dibujos desempeñan un rol clave en la enseñanza de la geometría, ya que permiten que los alumnos tomen decisiones que no pasarán por una simple observación y medición de “ese dibujo” sino que les permitirán formularse preguntas para cualquier cuadrado. En didáctica de la matemática decimos que transitamos del dibujo a la figura. 

Resolver problemas geométricos demanda ser un observador reflexivo. No se aprende geometría por lo que se ve, se aprende geometría por formularse buenas preguntas acerca de lo que se observa.