Enseñar las operaciones
Cuándo y cómo enseñar las operaciones
Cómo y cuándo enseñar cada una de las operaciones básicas: sumar, restar, multiplicar y dividir, son preguntas frecuentes de los docentes. Hasta no hace mucho, la escuela proponía que los alumnos aprendieran a resolver las cuatro operaciones básicas mediante un algoritmo, es decir, un conjunto ordenado y finito de pasos que permitieran arribar a una respuesta. Tradicionalmente, se enseñaba primero a sumar y luego se proponía resolver muchas cuentas similares en las que fuese necesario aplicar el algoritmo aprendido. Después, se enseñaba a restar y se procedía de igual manera.
Se consideraban casos con dificultades diversas, como escalones separados de un andamiaje que, teóricamente, permitían a los alumnos arribar a un manejo sólido del cálculo y así podían manejarse fácilmente en la resolución y el conocimiento de los problemas que involucraran dichas operaciones. Analfabeto era quien no sabía los algoritmos correspondientes de suma y resta. Sin embargo, puede constatarse que muchos alumnos “saben” la técnica para resolver, las cuentas, pero no pueden distinguir en qué casos hay que utilizarla.
Es necesario, entonces, proponer un cambio para que los chicos se enfrenten a situaciones en las que tengan que tomar decisiones y resolver problemas de distinta índole. Es decir, analizar antes de utilizar una estrategia u otra.
Algunos chicos, en lugar de razonar sobre el concepto, suelen tomar decisiones mecánicas. Por ejemplo, cuando relacionan un cálculo a una palabra: “es de resta porque dice gastó”.
Analicemos el siguiente problema:
Lucas fue al kiosco. Gastó $75 en un alfajor y $185 en un paquete de galletitas. ¿Cuánto gastó en total?
Aunque en el planteo de este problema aparece “gastó”, para resolverlo es necesario sumar los números.
En el enfoque planteado en los diseños curriculares de las diferentes jurisdicciones, se propone cambiar la resolución mecánica y mágica de formas únicas de resolver cuentas por un abanico más amplio de recursos de cálculo, entre los que se encuentra el cálculo mental y el uso de la calculadora, con el propósito de que los alumnos comprendan las razones que subyacen en las técnicas y propiedades que esconden las prácticas mecánicas.
Enseñar Matemática no es dar una explicación y varios ejercicios para afianzar la estrategia explicada. Consiste en proponer una serie de problemas para que los chicos puedan decidir qué es lo más conveniente y qué estrategia sirve o no para la resolución.
Esto nos coloca no solo ante el desafío de incluir diferentes estrategias de cálculo y aportar más herramientas para que los chicos tengan disponibles en el momento de realizar algún cálculo, sino que también hace necesario que los algoritmos tengan una construcción por parte del alumno para descartar la “magia” que los rodea y les permita su reconstrucción en el momento del olvido de la operatoria y la validación posterior. Así, el algoritmo se transformará en otra estrategia y no en la única posible.
En este sentido, Bernard Charlot, reconocido investigador francés, sostiene: “La actividad matemática no es mirar y descubrir, es crear, producir, fabricar.” Se trata, entonces, de motivar y sostener en el aula la reproducción de esos procesos de pensamiento.
Entonces, la actividad que los chicos desarrollen tendrá el mismo sentido que la de los matemáticos que elaboraron por primera vez los conceptos fundamentales de la disciplina.
La tarea docente es orientar la producción colectiva para que los alumnos elaboren estrategias propias, expliquen sus ideas, justifiquen sus procedimientos y resultados, confronten sus producciones con las de los compañeros, reflexionen sobre lo hecho, y acepten otras formas de resolución. En una clase pensada desde este enfoque, de producción colectiva y construcción de conocimientos, se pueden diferenciar cuatro momentos:
1. Lectura, en forma individual o colectiva, de la situación planteada para aclarar aquello que no se entienda, es decir, saber qué se pide y comprender todo lo que el problema plantea;
2. Discusión grupal y resolución;
3. Propuesta de debate colectivo, donde se analizan las diferentes estrategias, correctas o no y, por último,
4. Institucionalización de lo aprendido, por parte del docente.
Aprender un concepto matemático no se reduce a resolver situaciones donde, de cierta manera se sabe qué operación sirve, ya sea porque el título lo dice o porque el docente lo informó, sino que significa poder tomar la decisión de cuál es la mejor estrategia, cuándo es conveniente para ese problema y cuándo no, poder aplicar lo que les parece más sencillo, por su recorrido, y explicar sus decisiones. En este punto es donde se puede enmarcar el tratamiento del error, que no se refiere a la falta de conocimiento sino a un nivel de conceptualización o de análisis diferente, y su discusión es uno de los pilares del aprendizaje.
El alumno tiene la certeza de que sus procedimientos son correctos, por eso el trabajo sobre los por qué del error y qué situación lo provocó es uno de los debates más enriquecedores. Sin este trabajo, solamente sabrá que no llegó al resultado correcto, pero no comprenderá el motivo de su razonamiento equivocado. De todas maneras, estamos hablando de razonamientos y no de errores de cuentas. No es que lo minimicemos, pero que el error se deba a que hizo 3 + 4 = 8, no es igual a que si el problema requería realizar 3 × 4 y no 3 + 4.
Enseñar el Teorema de Pitágoras
Te invito a recorrer una secuencia didáctica para enseñar el Teorema de Pitágoras en conjunto con la lógica de la programación.
En mi experiencia esta secuencia resulta muy gratificante para trabajar dado que los estudiantes no solo comprenden un teorema sino que además aprenden a argumentar y a pensar logicamente.
Los sentidos de la división
Los sentidos de la división
Hasta no hace mucho, la escuela proponía que los chicos aprendieran a resolver las cuatro operaciones básicas: sumar, restar, multiplicar y dividir mediante algoritmos, es decir, un conjunto ordenado y finito de pasos que permite arribar a una respuesta. Pero hoy sabemos que este enfoque de los saberes matemáticos reduce el valor educativo de esta disciplina. Tal como expresa Santaló “(…) la enseñanza moderna pone énfasis en la comprensión de lo que significa cada operación más que en su realización efectiva.” (Luis A. Santaló, “La matemática moderna en la escuela primaria y secundaria”)
Conocer las operaciones matemáticas no es solo aplicar una serie de pasos fijos y sucesivos para llegar a un resultado, sino conocer y decidir en qué casos una operación es adecuada y en cuáles no. Adquirir el sentido de un concepto implica determinar su grado de utilidad y también los límites de su uso. Para internalizar y aprehender el concepto de dividir, es necesario generar en el aula instancias de reflexión y validación acerca de las razones por las que una manera de resolver un problema funciona. Es un proceso de aprendizaje complejo que lleva varios años de escolaridad. Las aproximaciones comienzan desde los primeros años, a partir de dibujos y esquemas que más tarde se convertirán en operaciones. Es fundamental tener presente que una palabra no puede relacionarse con un cálculo, por ejemplo “es de dividir porque dice repartir”, sino que es preciso presentar diferentes situaciones que permitan razonar sobre el concepto sin tomar decisiones mecánicas.
¿Cuáles son los sentidos de la división?
Problemas de reparto
Estos problemas tienen dos aspectos principales: el acto de repartir y determinar en cuántas partes se reparte. Por ejemplo:
1. Fabián quiere repartir 27 caramelos entre 8 chicos de modo que todos reciban lo mismo. ¿Cuántos caramelos le da a cada uno?
2. Fabián quiere repartir 27 caramelos. Le va a dar 8 caramelos a cada chico. ¿Para cuántos amigos le alcanzan?
Las estrategias para resolver estos problemas son distintas. En el primero, que apunta al hecho de repartir, los alumnos pueden ir entregando un caramelo a cada chico hasta terminar. En cambio, en el segundo, que analiza la cantidad de partes en que se divide, deben darle 8 a la vez a cada uno.
Otro tipo de problemas relacionados con el reparto son los que permiten analizar el resto. Por ejemplo: En el quiosco quieren ordenar 130 caramelos en bolsitas. En cada bolsita pondrán 6 caramelos.
a. ¿Cuántas bolsitas pueden llenar?
b. ¿Cuántos caramelos tienen que conseguir para llenar una bolsita más?
En b. los alumnos deben analizar que primero necesitan calcular cuántos caramelos sobran –el resto– para determinar cuántos necesitan para llenar una bolsita más. Se llenan 21 bolsitas y sobran 4 caramelos. Hay que agregar 2 caramelos para llenar 1 bolsita más. Finalmente se pueden analizar los problemas, a partir de la relación entre el dividendo, el divisor, el cociente y el resto.
Fernanda repartió todos los caramelos que tenía entre los 25 chicos de su año. Le dio 5 a cada chico y se quedó con 3. ¿Cuántos caramelos tenía Fernanda?
A partir de este planteo es posible relacionar las partes de una división, pues los chicos deben analizar que primero deben calcular cuántos caramelos repartió Fernanda (25 x 5) y, luego, sumar los que se quedó (25 x 5 + 3). También hay que tener presente que a veces se reparte todo y a veces sobra. En estos casos es cuando se presentan los números fraccionarios y decimales como resultados exactos de una división.
Problemas de iteración
Los problemas de iteración apuntan a entender el concepto de división como la cantidad de veces que un número entra en otro. Las estrategias de los alumnos dependen mucho de los números involucrados. Analicemos este ejemplo:
En una línea como la de esta imagen, que continúa indefinidamente, un sapo se paró en el número 65 y dio saltos para atrás de a 4 casilleros, es decir, después del primer salto está en el número 61. ¿Cuál es el número más chico al que llega antes de salir de la línea?
El problema requiere analizar cuántos pasos de 4 casilleros da el sapo hacia atrás, es decir, cuántas veces entra el 4 en 65 y cuánto sobra.
Problemas vinculados con la división exacta
Entre estos problemas, podemos analizar los de proporcionalidad directa, donde es necesario completar una tabla o buscar una constante de proporcionalidad y los de productos de medidas, como áreas de rectángulos.
El uso de la tecnología
El uso de la tecnología
Estamos atravesando un cambio cultural que incide fuertemente en los procesos vitales de toda la población, pero en particular, cuando analizamos los efectos en los niños y jóvenes, nativos digitales, su relación con el acceso, uso y conservación de la información es muy diferente a lo vivido por los profesores. El mundo digital y tecnológico no puede quedar fuera del espacio escolar y esa es una condición que cada vez cobra mayor fuerza y relevancia. Debemos estar muy atentos: el cambio cultural de la gestión de nuestras clases implica realizar un corte transversal en nuestra sociedad y observar que lo virtual es fundamental en la construcción cognitiva del saber científico, en general, y matemático, en particular. En nuestras clases este eje no puede estar ausente. La pregunta de qué transmitir en la clase es fundamental. Antes el saber tenía como soporte el cuerpo del sabio, un aeda o un gríot africano; una biblioteca viviente: ese es el cuerpo docente del pedagogo. Poco a poco, el saber se hizo objetivo: al principio en rollos, en vitelas o pergaminos, soportes de escritura; luego, a partir del Renacimiento, en los libros de papel, soportes de imprenta; por último, hoy en día, en la Red, soporte de mensajes y de información. La evolución histórica de la pareja soporte-mensaje es una buena variable de la función de enseñanza. En consecuencia, la pedagogía cambió al menos tres veces: con la escritura, los griegos inventaron la paideía; luego de la imprenta, y hoy. Sin embargo, se suele afirmar que si los estudiantes hacen las cuentas con la calculadora, no aprenderán a hacerlas por sí mismos. Esa afirmación no es cierta. Los alumnos a en su trayectoria escolar aprenden a resolver cuentas. Sin embargo, el uso de la calculadora les permite abordar una mayor variedad de problemas y probar de manera más económica múltiples estrategias de resolución. La tecnología llegó para quedarse, está en todos lados y afectan la vida cotidiana de los ciudadanos y las formas de participar en la vida social, cultural, económica y política. Debemos preparar a los alumnos para que interactúen con ella de manera crítica y comprendan, además, las limitaciones que tiene. Las calculadoras, los programas para la enseñanza de la Matemática y de programación deben estar en el aula. Pero somos nosotros, los docentes, los que tenemos que tener en claro cuáles son los propósitos de enseñanza en las propuestas de actividades. Los recursos tecnológicos por sí solos no son suficiente. En este sentido, el rol del docente es fundamental y su intervención da cuenta con nitidez de la acción intencional que porta toda propuesta de enseñanza. La propuesta de trabajo con calculadora o computadoras no pretende reemplazar el aprendizaje de los estudiantes sobre estrategias de cálculo, de gráficos, etc., sin utilizarla para investigar relaciones entre los números, buscar regularidades, analizar propiedades de las operaciones, proponer soluciones a situaciones que no pueden resolverse algebraicamente, entre otras posibilidades. Desde esta perspectiva, el uso de la tecnología no exime al alumno de la actividad matemática, sino que es una herramienta que permite explorar, indagar, conjeturar, economizar recursos, pero siempre sobre la base del conocimiento matemático. Es importante tener en cuenta que para que este análisis tenga sentido y pueda recuperarse hay que enseñarles a los alumnos a registrar en sus carpetas las cuentas que hacen en la calculadora, para reflexionar sobre ellas y abrir una discusión fructífera para hallar las razones de los errores y aciertos obtenidos en la resolución.
La gestión de la clase
La gestión de la clase
En este enfoque didáctico, en cada clase se proponen actividades que los estudiantes resolverán primero de manera individual y luego en pequeños grupos. En esos momentos todas las respuestas son válidas. No importa si son erróneas. El error es parte del proceso de aprendizaje que es necesario transitary que debe ser explicitado como parte necesaria del proceso. En la escolaridad los errores y equivocaciones son parte del objeto de la tarea de enseñanza y los profesores así lo tenemos que considerar. Pasados esos momentos se propone un debatecolectivo en el que los chicos propongan sus estrategias, sean correctas o no. En esta etapa los alumnos tienen que explicitar lo que han elaborado, entender las producciones de los demás, responder a las preguntas de otros alumnos y a las que plantea el docente, tomar decisiones y dar opiniones respecto de sus propias producciones y de las de los demás. Participan todos los alumnos y el docente es quien selecciona las nociones, las técnicas y los procedimientos que considera valiosos y adecuados. Es conveniente que el profesor gestione el debate sin dar la respuesta correcta al problema, e intente que los alumnos debatan, discutan y lleguen a elaborar conclusiones en forma cada vez más autónoma. De esta instancia surgirán aclaraciones a la formulación de los problemas, criterios para darse cuenta si una producción resuelve un problema o no y si las justificaciones son pertinentes y exhaustivas, y también, nuevos problemas matemáticos que ayudarán a profundizar las relaciones establecidas. Es importante que el análisis de las estrategias no sea exclusivamente de las correctas, sino que se trate especialmente las erróneas, ya que el análisis de un procedimiento erróneo puede aportar elementos más interesantes que el de un procedimiento correcto. Porque así se recorre todo un procedimiento realizado y se pone de manifiesto las diferentes formas de resolución adoptadas permitiendo reconocer dónde estuvieron las equivocaciones. Realizar un buen análisis de las estrategias erróneas permite que los alumnos revisen sus propias estrategias, se apropien de las correctas y no repitan los errores. En este proceso el rol docente es fundamental porque tiene a su cargo funciones claves en el aprendizaje. Debe orientar la producción colectiva, para que los alumnos elaboren estrategias propias, expliquen sus ideas, justifiquen sus procedimientos y resultados, confronten sus producciones con las de los compañeros, reflexionen sobre lo hecho y acepten otras estrategias de resolución. Finalmente, el docente hace una síntesis de todo lo hecho, releyendo las conclusiones arribadas por los chicos y ampliando lo escrito. En ese momento el docente pone nombre a lo aprendido y revisa que todos tengan escrito lo necesario para seguir estudiando.
Cómo se aprende Matemática
Cómo se aprende Matemática
La matemática es una actividad social y por lo tanto construida por hombres. Consideramos entonces que la Matemática es una ciencia que todos pueden comprender, incorporar y usar. Para lograrlo debemos generar en las aulas espacios y condiciones para que los y las estudiantes puedan, a partir de la resolución de problemas, construir conocimientos y apropiarse de conceptos y procedimientos propios del quehacer matemático. Para construir el sentido de un concepto es necesario no solo reconocer las situaciones para las cuales es útil, sino también reconocer sus aracterísticas y sus limitaciones. Comprender el sentido de un concepto implica entonces comprender en que condiciones se verifican propiedades, por qué se verifican, cómo se relacionan los conceptos entre sí, cuáles son las formas de representación más útiles para obtener información, cómo se valida la respuesta, etc. Para lograrlo, es necesario generar en el aula un clima de dialogo, debate y confrontación de ideas en el que los estudiantes se sientan cómodos para intercambiar ideas, para equivocarse, para decir que no se comprendió, para buscar nuevas estrategias… Debemos preparar estudiantes para el momento que les toca vivir y, es por ello que necesitamos no solo preocuparnos por que aprendan los conceptos, sino que desarrollen capacidades requeridas para el siglo que les toca vivir. Entre ellas fundamentalmente consideraremos: Resolución de problemas, Comunicación oral y escrita, pensamiento crítico y trabajo con otros.
Resolución de problemas
En la clase, los estudiantes deben poder enfrentarse a situaciones que les representan desafíos, que, en principio, no saben resolver. Por lo tanto, se deben proponer situaciones problemáticas cuya respuesta no resulte obvia. Un problema es una situación que admite diversas estrategias de resolución, y esto implica que el alumno deba tomar decisiones. Para resolver un problema el estudiante debe movilizar conocimientos disponibles, reconocer aquellos que son necesarios, elaborar posibles soluciones y construir nuevos conocimientos. Los problemas se reconocen como situaciones que no se resuelven de forma única y que constituyen una novedad para los alumnos. Es decir que, para resolver la situación los alumnos tienen que entender lo que se les pide que averigüen, tienen que poder esbozar algún proyecto de resolución, aunque no sea el correcto. Es por esto que, para que una situación a resolver sea un problema, debe ser para un alumno o un grupo de alumnos un obstáculo a resolver. No tiene que ver entonces con el contexto sino con la relación entre los estudiantes y la situación. En síntesis, un problema es cualquier situación que estimule a los y las estudiantes para que piensen estrategias, analicen las de sus compañeros, y justifiquen sus procedimientos.
Pensamiento crítico
En las clases, los estudiantes deben poder buscar estrategias propias y adoptar posturas fundadas respecto a la resolución de una situación. Esto supone que deben analizar e interpretar datos, construir propiedades y argumentar acerca de la veracidad o no de ellas. Estas son formas en las que se desarrolla el pensamiento crítico.
Comunicación
En matemática la comunicación es fundamental. Esto incluye la capacidad de leer, interpretar o representar información, implícita o explícita, proveniente de diferentes fuentes de datos. Es necesario trabajar en el aula los distintos registros de representación (simbólicos, gráficos, tablas, textos, etc.) y que los estudiantes puedan pasar de uno a otro sin dificultades e interpretar cuál es más conveniente dependiendo de la situación que deben resolver. También es necesario trabajar la capacidad de escuchar, comprender y expresar conceptos, y argumentos tanto en forma oral como escrita.
Trabajo con otros
Uno de los desafíos de la educación secundaria, también es enseñar a trabajar con otros. Situación que forma parte, en muchos casos, de las demandas de la vida laboral adulta. La escolaridad es el espacio más propicio para se produzcan las interacciones entre pares en el contexto de la enseñanza de las disciplinas. Las interacciones con los pares permiten que los estudiantes entiendan las consignas de una tarea, confronten las respuestas elaboradas individualmente y seleccionen la estrategia que les parece más adecuada, la comuniquen y la defiendan; sean capaces de descentrarse de su propio procedimiento de resolución, la cuestionen y la modifiquen, si fuera necesario, y aprecien los elementos positivos de otras propuestas. Estos intercambios son sumamente ricos, dado que la confrontación de ideas con los pares habilita más posibilidades de discusión, porque los chicos tienen todo el mismo estatus.
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